悠日記: 聲子

聲子

聲子是凝聚態物質（特別是固體和某些液體）中原子或分子週期性、彈性排列的集體激發。聲子是物理學中的一種準粒子，^[¹^]聲子是相互作用粒子彈性結構振動模式的量子力學量子化中的激發態。聲子可以被認為是量子化的聲波，類似於光子被認為是量子化的光波。^[²^]

聲子的研究是凝聚態物理的重要組成部分。它們在凝聚態物質系統的許多物理性質（例如導熱性和導電性）以及中子散射和相關效應模型中發揮重要作用。

聲子的概念是由蘇聯物理學家伊戈爾·塔姆於1930年提出的。聲子這個名字是由雅科夫·弗倫克爾（Yakov Frenkel）提出的。^[ 3 ]它來自希臘文φωνή ( phonē ) ，翻譯過來就是聲音或聲音，因為長波聲子會產生聲音。這個名字強調了與光子這個詞的類比，因為聲子代表聲波的波粒二象性，就像光子代表光波的波粒二象性一樣。最小晶胞中含有多個原子的固體同時表現出聲學和光學聲子。

定義

聲子是基本振動運動的量子力學描述，其中原子或分子晶格以單一頻率均勻振盪。^[⁴^]在經典力學中，這表示振動的簡正模式。正規模式很重要，因為任何任意晶格振動都可以被視為這些基本振動模式的疊加（參見傅立葉分析）。雖然正常模式是經典力學中的波動現象，但聲子也具有粒子狀的特性，這在某種程度上與量子力學的波粒二象性有關。

晶格動力學

本節的方程式不使用量子力學公理，而是使用經典力學中存在直接對應關係的關係。

例如：剛性規則的結晶（非非晶）晶格由N 個粒子組成。這些粒子可以是原子或分子。N是一個很大的數，例如 10 ²³的數量級，或典型固體樣品的阿伏加德羅數的數量級。由於晶格是剛性的，原子必須相互施加力以保持每個原子接近其平衡位置。這些力可能是范德華力、共價鍵、靜電引力等，而這些力量最終都是由電力產生的。磁力和重力通常可以忽略。每對原子之間的力可以用位能函數V來表徵，而勢能函數 V 取決於原子分離的距離。整個晶格的位能是所有成對位能總和乘以係數 1/2 以補償重複計算：^[ 5 ]

{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)

其中r _i是第 i 個原子的位置，V是兩個原子之間的位能。

無論是在經典力學或量子力學中，都很難明確地解決這個多體問題。為了簡化任務，通常會施加兩個重要的近似值。首先，僅對相鄰原子進行求和。儘管真實固體中的電力延伸至無窮大，但這種近似仍然有效，因為遠距離原子產生的場被有效屏蔽。其次，電位V被視為諧波電位。只要原子保持接近其平衡位置，這是允許的。形式上，這是透過泰勒將 V關於其平衡值展開到二次階來實現的，使V與位移x ²成正比，彈性與x成正比。如果x保持接近平衡位置，忽略高階項的誤差仍然很小。

由此產生的晶格可以被視為由彈簧連接的球系統。下圖顯示了立方晶格，它是許多類型的結晶固體的良好模型。其他晶格包括線性鏈，這是一個非常簡單的晶格，我們很快就會用它來建模聲子。（其他常見晶格，請參見晶體結構。）

晶格的位能現在可以寫為

\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right)^{2}.

這裡，ω是諧波勢的固有頻率，由於晶格是規則的，因此假設它們是相同的。R _i是第i個原子的位置座標，我們現在從其平衡位置測量它。最近鄰的總和表示為 (nn)。

值得一提的是，這裡給出的數學處理是高度簡化的，以便非專家也能理解。透過在晶體總勢能的表達式中做出兩個基本假設，實現了簡化。這些假設是（i）總位能可以寫成成對相互作用的總和，以及（ii）每個原子僅與其最近的鄰居相互作用。這些在現代晶格動力學中只很少使用。^[ 6 ]一種較通用的方法是用力常數來表達位能。^[ 6 ]例如，請參閱有關多尺度格林函數的 Wiki 文章。

晶格波

聲子透過方形晶格傳播（原子位移被大大誇大）

由於原子之間的連接，一個或多個原子偏離平衡位置的位移會產生一組透過晶格傳播的振動波。右圖顯示了這樣一種波。波的振幅由原子相對其平衡位置的位移給出。波長λ 被標記。

存在最小可能波長，由原子間平衡間距a 的兩倍給出。由於晶格的周期性，任何比這短的波長都可以映射到比 2 a長的波長。這可以被認為是奈奎斯特-香農採樣定理的結果，格點被視為連續波的「採樣點」。

並非每種可能的晶格振動都具有明確定義的波長和頻率。然而，簡正模式確實具有明確定義的波長和頻率。

一維晶格

動畫顯示一維晶格的 6 種正常模式：線性粒子鏈。最短的波長位於頂部，下方的波長逐漸變長。在最低的線條中可以看到波浪向右運動。

為了簡化 3 維原子晶格所需的分析，可以方便地對 1 維晶格或線性鏈進行建模。此模型足夠複雜，足以顯示聲子的顯著特徵。

經典治療

假設原子之間的力是線性且最近鄰的，並且它們由彈性彈簧表示。假設每個原子是一個點粒子，原子核和電子同步運動（絕熱定理）：

n − 1 n n + 1 ← a →

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++ ++o+ +++++o++++++o···

→→ → →→→

u _{n − 1}u _n u _n_{+ 1}

其中 $n$ 標記 $N$ 總數中的 $第 n$ 個原子， $a$ 是鏈處於平衡狀態時原子之間的距離， $u$ $n$ $是第 n$ 個原子相對其平衡位置的位移。

若C是彈簧的彈性常數， $m是原子的質量，則$ $第 n$ 個原子的運動方程式為

-2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.

這是一組耦合方程式。

由於解預計是振蕩的，因此透過離散傅立葉變換定義新座標，以便將它們解耦。^[ 7 ]

放

u_{n}=\sum _{Nak/2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.

這裡， $na$ 對應並演化為標量場論的連續變數 $x$ 。 Q $k 被$ 稱為連續場模式的法向座標 $\phi _{k}=e^{ikna}$ 和 $k=2\pi j/(Na)$ 為了 $j=1\dots N$ 。

代入運動方程式產生以下解耦方程式（這需要使用離散傅立葉變換的正交性和完整性關係進行顯著操作），^[ 8 ]

2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.

這些是解耦諧振子的方程，其解為

Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.

每個法向座標Q _k $代表波數為k$ 的晶格的獨立振動模式，稱為法向模式。

第二個方程式 $ω k$ 被稱為角頻率和波數之間的色散關係。

在連續極限中， $a$ →0， $N$ →Infini， $Na$ 保持固定， $u n$ → $φ (x)$ ，標量場，並且 $\omega (k)\propto ka$ 。這相當於經典的自由標量場理論，即獨立振盪器的集合。

量子治療

一維量子力學諧波鏈由N 個相同的原子組成。這是最簡單的晶格量子力學模型，允許聲子從中產生。這個模型的形式很容易推廣到二維和三維。

與上一節相反，質量的位置不由 $u_{i}$ ，而是透過 $x_{1},x_{2},\dots$ 從它們的平衡位置測量。（IE $x_{i}=0$ 如果粒子 $我$ 處於平衡位置。 $x_{i}$ 是向量。該系統的哈密頓量為

{\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}

其中m是每個原子的質量（假設所有原子都相等），xi和p _i分別是第 i個原子_的位置和動量算子，並且對最近鄰居 (nn) 求和。然而，人們預期在晶格中也可能出現表現得像粒子的波。通常在傅立葉空間中處理波，它使用波矢的簡正模作為變數而不是粒子的座標。法向模態的數量與粒子的數量相同。儘管如此，考慮到系統的周期性，傅立葉空間仍然非常有用。

可以引入一組N 個「法向座標」Q _k ，定義為x _k的離散傅立葉變換，以及N 個「共軛動量」Π _k定義為p _k的傅立葉變換：

{\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}

k的量就是聲子的波數，即 2 $π$ 除以波長。

這種選擇保留了實空間或波向量空間中所需的換向關係

{\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}

從整體結果來看

{\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}

位能項是

{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}

在哪裡

\omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|

哈密頓量可以在波向量空間中寫為

{\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)

位置變數之間的耦合已被轉換掉；如果Q和Π是埃爾米特式的（實際上不是），則變換後的哈密頓量將描述N 個非耦合諧振子。

量化的形式取決於邊界條件的選擇；為簡單起見，施加週期性邊界條件，將第 ( N + 1) 個原子定義為與第一個原子等效。從物理上講，這相當於在其末端連接鏈條。得到的量化結果是

k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\

n的上限來自最小波長，它是晶格間距a 的兩倍，如上所述。

模式ω _k的諧振子特徵值或能階為：

E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots

這些級別均勻分佈在：

{\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots

哪裡⁠1/2⁠ ħω是量子諧振子的零點能量。

必須向諧振子晶格提供精確的能量ħω，以將其推至下一個能階。類比電磁場量子化時的光子情況，振動能量的量子稱為聲子。

所有量子系統同時表現出波狀和粒子狀的特性。使用稍後描述的第二量子化方法和算子技術可以最好地理解聲子的類粒子特性。^[ 9 ]

三維點陣

這可以推廣到三維晶格。波數k被三維波向量 k取代。此外，每個k現在與三個法線座標相關聯。

新的指數s = 1, 2, 3 標記聲子的極化。在一維模型中，原子被限制沿直線運動，因此聲子對應於縱波。在三維空間中，振動不僅限於傳播方向，也可以發生在垂直平面上，如橫波。這產生了額外的法向座標，正如哈密頓量的形式所示，我們可以將其視為獨立的聲子種類。

色散關係

線性雙原子鏈中的色散曲線

線性雙原子鏈中的光學和聲學振動。

雙原子鏈在不同頻率下的振動。

對於與 GaAs 晶格振動相對應的某些波，色散關係ω = ω ( k )。 ^[ 10 ]

對於質量為m ₁、m ₂的兩種離子或原子的一維交替陣列，以距離a週期性重複，透過彈簧常數K的彈簧連接，產生兩種振動模式：^[ 11 ]

\omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},

其中k是與其波長相關的振動波矢 $k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}$ 。

頻率與波矢之間的聯繫ω = ω ( k ) 被稱為色散關係。加號表示所謂的光學模式，減號表示聲學模式。在光學模式下，兩個相鄰的不同原子彼此相對移動，而在聲學模式下，它們會一起移動。

聲學聲子的傳播速度，也就是晶格中的聲速，由聲色散關係的斜率給出，⁠∂ ω _k/∂k⁠（參見群速度。）在k值較低（即長波長）時，色散關係幾乎是線性的，聲速約為ωa，與聲子頻率無關。因此，具有不同（但長）波長的聲子包可以在晶格上傳播很長的距離而不會分裂。這就是聲音在固體中傳播而沒有明顯失真的原因。由於晶格的微觀細節，這種行為在較大的k值（即短波長）下會失敗。

對於原晶胞中至少有兩個原子的晶體，色散關係表現出兩種類型的聲子，即光學模式和聲學模式，分別對應於圖中上方的藍色曲線和下方的紅色曲線。縱軸是聲子的能量或頻率，橫軸是波矢。邊界為 - ⁠ $π$ /一個⁠和⁠ $π$ /一個⁠是第一布里淵區的區域。^[ 11 ]原胞中含有N ≥ 2 個不同原子的晶體表現出三種聲模：一種縱向聲模和兩種橫向聲模。光學模式的數量為 3 N – 3。下圖顯示了GaAs中幾種聲子模式的色散關係，作為布里淵區主方向上波矢k的函數。 ^[¹⁰^]

這些模式也稱為聲子色散的分支。一般來說，如果原晶胞中有 p 個原子（前面以 N 表示），則 3 維晶體中就會有 3p 個聲子色散分支。其中，3 個分支對應於聲學模式，其餘 3p-3 分支將對應於光學模式。在一些特殊方向上，有些分支由於對稱性而重疊。這些分支稱為退化分支。在聲學模式下，所有 p 原子同相振動。因此，在波傳播過程中，這些原子的相對位移並沒有改變。

聲子色散的研究對於模擬以聲子為特徵的固體中聲波的傳播非常有用。如前所述，每個聲子的能量為ħω。波速也以ω和 k的形式給出。波矢量的方向是波傳播的方向，聲子偏振向量給出了原子振動的方向。實際上，一般來說，對於不同的 k 方向，晶體中的波速是不同的。換句話說，大多數晶體對於聲子傳播是各向異性的。

如果原子沿著與波傳播相同的方向振動，則波是縱向的。在橫波中，原子垂直於波傳播振動。然而，除了各向同性晶體之外，晶體中的波並不完全是縱向或橫向的。對於一般各向異性晶體，聲子波僅在某些特殊對稱方向上是縱向或橫向的。在其他方向上，它們可以接近縱向或接近橫向。只是為了標記方便，它們通常被稱為縱向或橫向，但實際上是準縱向或準橫向。請注意，在三維情況下，直線上的每個點都有兩個垂直於直線的方向。因此，每個（準）縱波總是有兩個（準）橫波。

許多聲子色散曲線已透過非彈性中子散射測量。

流體中的聲音物理學與固體中的聲音物理學不同，儘管兩者都是密度波：流體中的聲波僅具有縱向分量，而固體中的聲波具有縱向和橫向分量。這是因為流體不能承受剪切應力（但請參見黏彈性流體，它僅適用於高頻）。

使用第二量化技術解釋聲子

上述導出的哈密頓量可能看起來像一個經典的哈密頓函數，但如果將其解釋為一個算子，那麼它描述了一個非相互作用玻色子的量子場論。^[²^] 第二種量化技術類似於量子諧振子中使用的梯子算子方法，是一種無需直接求解微分方程即可提取能量特徵值的方法。給定哈密頓量， ${\mathcal {H}}$ ，以及共軛位置， $Q_{k}$ ，和共軛動量 $\Pi _{k}$ 在上面的量子處理部分中定義，我們可以定義創建和湮滅算符：^[ 12 ]

b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)

和

{b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)

透過代入規範交換關係，可以很容易地得到以下換向器：

\left[b_{k},{b_{k'}}^{\dagger }\right]=\delta _{k,k'},\quad {\Big [}b_{k},b_{k'}{\Big ]}=\left[{b_{k}}^{\dagger },{b_{k'}}^{\dagger }\right]=0

使用它，可以反轉算子b _k^†和b _{k以將共軛位置和動量重新定義為：}

Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_{-k}\right)

和

\Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger }-b_{-k}\right)

直接將這些定義代入 $Q_{k}$ 和 $\Pi _{k}$ 進入波矢空間哈密頓量，如上方所定義，然後簡化導致哈密頓量採用以下形式：^[ 2 ]

{\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)

這稱為第二量化技術，也稱為佔用數公式，其中n _k = b _k^†b _k是佔用數。這可以看作是 N 個獨立振盪器哈密頓量的總和，每個哈密頓量都有一個唯一的波矢，並且與量子諧振子所使用的方法相容（注意n _k是埃爾米特量）。^[ 12 ]當哈密頓量可以寫成交換亞哈密爾頓量之和時，能量本徵態將由每個單獨的亞哈密爾頓量的本徵態的乘積給出。然後，對應的能譜由亞哈密頓量的各個特徵值總和給出。^[¹²^]

與量子諧振子一樣，我們可以證明b _k^†和b _k分別產生和破壞單一場激發，即聲子，其能量為ħω _k。^[ 12 ]^[ 2 ]

聲子的三個重要特性可以從這個技術推斷出來。首先，聲子是玻色子，因為可以透過重複應用來建立算子b _k^†來創建任意數量的相同激發。其次，每個聲子都是由晶格中每個原子的運動所引起的「集體模式」。這可以從以下事實看出：在動量空間中定義的創建和湮滅算符包含在位置空間中寫入時每個原子的位置和動量算符的和。（參見位置和動量空間。）^[ 12 ]最後，使用位置-位置相關函數，可以證明聲子充當晶格位移波。^{[需要引用]}

此技術很容易推廣到三個維度，其中哈密頓量採用以下形式：^[ 12 ]^[ 2 ]

{\mathcal {H}}=\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left({b_{k,s}}^{\dagger }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right).

這可以解釋為 3N 個獨立振盪器哈密頓量的總和，每個波向量和偏振對應一個。^[ 12 ]

聲學和光學聲子

最小晶胞中含有多個原子的固體表現出兩種類型的聲子：聲學聲子和光學聲子。

聲聲子是晶格原子離開其平衡位置的相干運動。如果位移沿著傳播方向，則在某些區域中原子會更近，而在其他區域中原子會更遠，就像空氣中的聲波一樣（因此稱為聲學）。垂直於傳播方向的位移與弦上的波相當。如果聲聲子的波長趨於無窮大，則相當於整個晶體的簡單位移，且變形能為零。對於長波長，聲學聲子表現出頻率和聲子波向量之間的線性關係。聲波聲子的頻率隨著波長的增加而趨向於零。縱向和橫向聲子通常分別縮寫為 LA 和 TA 聲子。

光學聲子是晶格中原子的異相運動，一個原子向左移動，而其鄰居則向右移動。如果晶格基礎由兩個或多個原子組成，就會發生這種情況。它們之所以被稱為光學，是因為在氯化鈉等離子晶體中，位移波動會產生與電磁場耦合的電極化。^[ 2 ]因此，它們可以被紅外線輻射激發，光的電場將使每個正鈉離子向場的方向移動，並且每個負氯離子向另一個方向移動，導致晶體振動。

光學聲子在布里淵區中心具有非零頻率，並且在該長波長極限附近沒有顯示色散。這是因為它們對應於一種振動模式，其中相鄰晶格位置的正離子和負離子相互擺動，產生隨時間變化的電偶極矩。以這種方式與光相互作用的光學聲子被稱為紅外線活性聲子。具有拉曼活性的光學聲子還可以透過拉曼散射與光間接相互作用。光學聲子通常縮寫為 LO 和 TO 聲子，分別表示縱向和橫向模式； LO 和 TO 頻率之間的分裂通常可以透過Lyddane-Sachs-Teller 關係來準確描述。

當實驗測量光學聲子能量時，光學聲子頻率有時以光譜波數表示法給出，其中符號ω表示普通頻率（不是角頻率），並以cm ^-1為單位表示。該值是透過頻率除以真空中的光速獲得的。換句話說，以cm ^-1為單位的波數對應於真空中與測量的聲子具有相同頻率的光子的波長的倒數。 ^[¹³^]

水晶動力

超過第一布里淵區（紅色）的 k 向量並不比第一布里淵區中的對應項（黑色）攜帶更多資訊。

與光子和物質波類比，聲子被用波矢 k處理，就好像它具有動量 ħk一樣；^[ 14 ]然而，這並非嚴格正確，因為ħk其實並不是物理動量；它被稱為晶體動量或贗動量。這是因為k僅在常數向量（倒格向量及其整數倍）相加時確定。例如，在一維模型中，定義法向座標Q和Π，使得

Q_{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}Q_{k+K};\quad \Pi _{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\Pi _{k+K}

在哪裡

K={\frac {2n\pi }{a}}

對於任何整數n。因此，波數為k的聲子等價於波數為k ± ⁠的無限聲子族 $2π$ /一個⁠ , k ± ⁠ $4π$ /一個⁠，等等。物理上，倒晶格向量充當晶格可以傳遞給聲子的附加動量塊。布洛赫電子遵循一組類似的限制。

布里淵區，(a) 為方形晶格，(b) 為六角晶格

通常考慮具有最小幅度 | 的聲子波矢k是很方便的。 k |在他們的“家庭”中。所有這類波矢的集合定義了第一個布里淵區。附加布里淵區可以定義為第一區的副本，移動了一些倒晶格向量。

熱力學

固體的熱力學性質與其聲子結構直接相關。由聲子色散關係描述的所有可能的聲子的整個集合組合成所謂的聲子態密度，它決定了晶體的熱容量。根據這種分佈的性質，熱容量由分佈的高頻部分決定，而熱導率主要由低頻區域決定。^{[需要引用]}

在絕對零度下，晶格處於基態，不包含聲子。非零溫度下的晶格的能量不是恆定的，而是圍繞著某個平均值隨機波動。這些能量波動是由隨機晶格振動引起的，可以將其視為聲子氣體。由於這些聲子是由晶格溫度產生的，因此它們有時被稱為熱聲子。^[¹⁵^]

隨機能量波動可以產生和破壞熱聲子。用統計力學的語言來說，這意味著添加聲子的化學勢為零。^[ 15 ]這種行為是諧波勢向非諧波狀態的延伸。熱聲子的行為類似於電磁腔產生的光子氣體，其中光子可以被腔壁發射或吸收。這種相似性並非巧合，因為事實證明，電磁場的行為就像一組諧振子，從而產生黑體輻射。兩種氣體都遵循玻色-愛因斯坦統計：在熱平衡和諧波範圍內，在給定角頻率的給定狀態下找到聲子或光子的機率為：^[¹⁶^]

n\left(\omega _{k,s}\right)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\hbar \omega _{k,s}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}

其中ω _k , s是此狀態下聲子（或光子）的頻率，k _B是玻爾茲曼常數，T是溫度。

聲子隧道效應

聲子已被證明表現出量子隧道行為（或聲子隧道），其中，跨越奈米寬的間隙，熱量可以通過在兩種材料之間「隧道」的聲子流動。^[ 17 ]這種類型的傳熱在距離太大而無法發生傳導但又太小而無法發生輻射之間進行，因此不能用經典傳熱模型來解釋。^[ 17 ]

算子形式主義

聲子哈密頓量由下式給出

{\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(p_{\alpha }^{2}+\omega _{\alpha }^{2}q_{\alpha }^{2}-\hbar \omega _{\alpha }\right)

就創建和消滅算子而言，它們由下式給出

{\mathcal {H}}=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }

在這裡，在用算子形式主義表達哈密頓量時，我們沒有考慮到1/2⁠ ħω _q項為，給定連續體或無限格，⁠1/2⁠ ħω _q項相加會產生無窮項。因為我們測量的是能量差，而不是它的絕對值，也就是常數項⁠1/2⁠ ħω _q可以被忽略而不改變運動方程式。因此，⁠1/2⁠ ħω _q因子在哈密頓量的算符形式化表達式中不存在。

基態也稱為“真空態”，是沒有聲子組成的態。因此，基態的能量為0。n ₁n ₂n ₃ …⟩，我們說有n 個α類型的_α聲子，其中n _α是聲子的佔據數。α型單一聲子的能量由ħω _q給出，一般聲子系統的總能量由n ₁ħω ₁ + n ₂ħω ₂ +...給出，因為沒有交叉項（例如n ₁ħω ₂ )，聲子被認為是非相互作用的。創建和消滅算子的作用由下式給出：

{a_{\alpha }}^{\dagger }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }+1}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }+1),n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }

和，

a_{\alpha }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }-1),n_{\alpha +1},\ldots {\Big \rangle }

創建算子a _α^†創建一個α類型的聲子，而α_則湮滅一個聲子。因此，它們分別是聲子的產生算子和湮滅算符。類似於量子諧振子的情況，我們可以將粒子數算子定義為

N=\sum _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }.

當且僅當創建運算符的數量等於湮滅運算符的數量時，數字運算符才可以與創建運算符和湮滅運算符的乘積串進行交換。

可以證明，聲子在交換下是對稱的（即| α , β ⟩ = | β , α ⟩），因此它們被認為是玻色子。^[ 18 ]

非線性

與光子一樣，聲子也可以透過參量下轉換^[ 19 ]相互作用並形成壓縮相干態。^[ 20 ]

預測特性

最近的研究表明，聲子和旋子可能具有不可忽略的質量，並且像標準粒子一樣受到重力的影響。^[ 21 ]特別是，聲子被預測具有一種負質量和負重力。^[ 22 ]這可以透過聲子在密度較大的材料中傳播得更快來解釋。由於指向引力源的材料部分更接近物體，因此該部分的密度會更大。據此，可以預測聲子在偵測到密度差異時會偏轉，從而表現出負重力場的性質。^[ 23 ]雖然效果太小而無法衡量，但未來的設備可能會帶來成功的結果。

超導

超導是電子物質的一種狀態，其中電阻消失並且磁場從材料中排出。在超導體中，電子透過弱吸引力結合在一起形成庫柏對。在傳統的超導體中，這種吸引力是由電子之間的聲子交換所引起的。 ^[ 24 ]同位素效應（超導臨界溫度對離子質量的依賴性）提供了聲子（離子晶格的振動）與超導性相關的證據。

其他研究

2019 年，研究人員首次能夠在不破壞單一聲子的情況下分離出它們。^[ 25 ]

它們也被證明可以形成“聲子風”，其中石墨烯表面上的電流是由於液固界面處的黏滯力而由其上方的液體流產生的。^[ 26 ]^[ 27 ]

參見

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