悠日記: 量子糾纏的一夫一妻制

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量子力學
$i\hbar {\frac {d}{dt}}\|\Psi \rangle ={\hat {H}}\|\Psi \rangle$ 薛丁格方程
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在量子物理學中，量子糾纏的「一夫一妻制」是指它不能在任意多方之間自由共享的基本屬性。

為了使兩個量子位元A和B最大程度地糾纏，它們不得與任何第三個量子位元C糾纏。即使A和B沒有最大程度地糾纏，它們之間的糾纏程度也會限制其中任何一個與C糾纏的程度。總的來說，對於 $n\geq 3$ 量子位元 $A_{1},\ldots ,A_{n}$ ，一夫一妻制的特徵是科夫曼-昆杜-伍特斯 (CKW) 不平等，其中指出

\sum _{k=2}^{n}\tau (\rho _{A_{1}A_{k}})\leq \tau (\rho _{A_{1}(A_{2} ) {\ldots}A_{n})})

在哪裡 $\rho _{A_{1}A_{k}}}$ 是由量子位元組成的子狀態的密度矩陣 $A_{1}$ 和 $A_{k}$ 和 $\tau$ 是“纏結”，二分糾纏的量化，等於併發度的平方。^[ 1 ]^[ 2 ]

一夫一妻制與不可複製性密切相關，^[ 3 ]^[ 4 ]純粹是量子關聯的一個特徵，沒有經典的類似物。假設兩個經典隨機變量X和Y相關，我們可以複製或「克隆」X以創建任意多個隨機變量，這些變量都與Y具有完全相同的相關性。如果我們讓X和Y成為糾纏的量子態，那麼X就無法被克隆，這種「一夫多妻制」的結果也是不可能的。

糾纏的一夫一妻制對量子力學的應用有廣泛的影響，從黑洞物理到量子密碼學，它在量子金鑰分發的安全性中發揮關鍵作用。^[ 5 ]

證明

2000年，Coffman 、Kundu和Wootters在三方系統上一致建立了二方糾纏^的^{一夫一妻制}^。^[ 2 ]

例子

為了便於說明，考慮三量子位元狀態 $|\psi \rangle \in (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes 3}$ 由量子位A、B和C組成。假設A和B形成一個（最大糾纏）EPR 對。我們將證明：

|\psi \rangle =|{\text{EPR}}\rangle _{AB}\otimes |\phi \rangle _{C}

對於某些有效的量子態 $|\phi \rangle _{C}$ 。根據糾纏的定義，這意味著C必須與A和B完全分離。

在標準基礎上測量時，A和B崩潰為狀態 $|00\rangle$ 和 $|11\rangle$ 有機率 ${\frac {1}{2}}$ 每個。由此可見：

|\psi \rangle =|00\rangle \otimes (\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )+|11\rangle \otimes (\beta _{ 0}|0\rangle +\beta _{1}|1\rangle )

對某些人來說 $\alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}\in \mathbb {C}$ 這樣 $|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2}=|\beta _{0}|^{2}+|\beta _{1}| ^{2}={\frac {1}{2}}$ 。我們可以用對角基向量重寫A和B的狀態 $|+\rangle$ 和 $|-\rangle$ ：

|\psi \rangle ={\frac {1}{2}}(|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle +|--\rangle )\otimes (\alpha _ {0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )+{\frac {1}{2}}(|++\rangle -|+-\rangle -|-+\rangle +| --\rangle )\otimes (\beta _{0}|0\rangle +\beta _{1}|1\rangle )

={\frac {1}{2}}(|++\rangle +|--\rangle )\otimes ((\alpha _{0}+\beta _{0})|0\rangle + (\alpha _{1}+\beta _{1})|1\rangle )+{\frac {1}{2}}(|+-\rangle +|-+\rangle )\otimes ((\alpha _{0}-\beta _{0})|0\rangle +(\alpha _{1}-\beta _{1})|1\rangle )

由於最大糾纏，A和B塌陷到兩種狀態之一 $|++\rangle$ 或者 $|--\rangle$ 以對角線為基礎測量時。觀察結果的機率 $|+-\rangle$ 或者 $|-+\rangle$ 為零。因此，根據上面的等式，必然是這樣的情況 $\alpha _{0}-\beta _{0}=0$ 和 $\alpha _{1}-\beta _{1}=0$ 。緊隨其後的是 $\alpha _{0}=\beta _{0}$ 和 $\alpha _{1}=\beta _{1}$ 。我們可以重寫我們的表達式 $|\psi \rangle$ 因此：