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| 經濟學 |
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金融經濟學是以「專注於貨幣活動」為特徵的經濟學分支，其中「一種或另一種貨幣可能出現在交易雙方」。 [ 1 ]因此，它關注的是股票價格、利率和匯率 等金融變數的相互關係，而不是那些涉及實體經濟的變數。它有兩個主要關注領域：[ 2 ] 資產定價和公司財務；第一個是資本提供者（即投資者）的視角，第二個是資本使用者的視角。因此，它為許多金融領域提供了理論基礎。
該主題涉及「在不確定的環境中，經濟資源在空間和時間上的配置和部署」。[ 3 ] [ 4 ]因此，它的重點是金融市場背景下不確定性下的決策以及由此產生的經濟和金融模型和原則，並關注從可接受的假設中得出可測試的或政策的影響。因此，它還包括對金融市場本身的正式研究，特別是市場微觀結構和市場監管。它建立在微觀經濟學和決策理論的基礎上。
金融計量經濟學是金融經濟學的一個分支，它使用計量經濟學技術來參數化所識別的關係。 數學金融學的相關之處在於它將推導和擴展金融經濟學所提出的數學或數值模型。金融經濟學主要關注微觀經濟，而貨幣經濟學本質上 主要關注宏觀經濟。
基礎經濟
| 基本估價方程式[ 5 ] |
四個等效公式，[ 6 ]其中：
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![{\displaystyle =\sum _{s}p_{s}X_{sj}{\tilde {m}}_{s}=E[X_{s}{\tilde {m}}_{s}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772024175a0be2129a6b4d8c2a8ce2273a5d0ebd)
金融經濟學研究理性投資者如何將決策理論應用到投資管理。因此，該學科建立在微觀經濟學的基礎上，並得出了金融市場不確定性下決策應用的幾個關鍵結果。背後的經濟邏輯產生了資產定價的基本定理，該定理給出了無套利資產定價的條件。[ 6 ] [ 5 ] 各種「基本面」估價公式直接得出結果。
現值、期望和效用
所有金融經濟學的基礎是現值和期望的概念。[ 6 ]
計算它們的現值，在第一個公式中，允許決策者將資產未來產生的現金流量（或其他回報）匯總為相關日期的單一值，從而更容易比較兩個機會；這個概念就是財務決策的起點。 [註1 ] （注意這裡，““代表適用於現金流量的通用（或任意）貼現率，而在估值公式中，一旦對其風險進行了“調整”，就會應用 無風險利率；見下文。）
一個直接的擴展是將機率與現值結合起來，從而產生預期價值標準，該標準將資產價值設定為預期支出規模及其發生機率的函數，和分別。[註2 ]
但這種決策方法並沒有考慮風險厭惡程度。換句話說，由於個人在貧窮時從額外的一美元中獲得更大的效用，而在相對富裕時則獲得更少的效用，因此，方法是“調整”分配給各種結果（即“狀態” ）的權重，相應地：。看淡漠價格。 （事實上，有些投資者可能是尋求風險而不是規避風險，但同樣的邏輯也適用。）
這裡不確定性下的選擇可以定義為期望效用的最大化。更正式地說，由此產生的預期效用假設指出，如果滿足某些公理，則與個人賭博相關的主觀價值是該個人對該賭博結果的評估的 統計期望。
這些想法的動力源於預期價值框架下觀察到的各種不一致，例如聖彼得堡悖論和埃爾斯伯格悖論。[註3 ]
無套利定價與均衡
| JEL分類代碼 |
| 在《經濟文獻期刊》分類代碼中，金融經濟學是19個主要分類之一， JEL：G 。有關詳細的子分類，請參閱JEL 分類代碼§G. 金融經濟學。 《新帕爾格雷夫經濟學詞典》（2008 年，第 2 版）也使用 JEL 代碼對其第 8 版主題索引中的條目進行分類，包括第 863-64 頁的金融經濟學。以下有新帕爾格雷夫在線每個主要或次要 JEL 類別的條目摘要的連結（每頁 10 個或更少，類似於Google搜尋）： 也可以搜尋第三類別條目。[ 10 ] |
然後將無套利、「理性」、定價和均衡 的概念與上述概念結合[ 11 ] ，得出各種「經典」[ 12 ]（或「新古典」[ 13 ]）金融經濟學模型。
理性定價是假設資產價格（以及資產定價模型）將反映資產的無套利價格，因為任何偏離該價格的行為都將被「套利」。這個假設對於固定收益證券（尤其是債券）的定價非常有用，並且對於衍生性工具的定價至關重要。
經濟均衡是供給和需求等經濟力量平衡的狀態，在沒有外部影響的情況下，這些經濟變數的均衡值不會改變。一般均衡透過試圖證明存在一組將導致整體均衡的價格，來研究具有多個或多個相互作用市場的整個經濟中的供給、需求和價格行為。 （這與部分均衡相反，部分均衡僅分析單一市場。）
這兩個概念的連結如下：如果市場價格不允許有利可圖的套利，即它們構成無套利市場，則這些價格也被稱為構成「套利均衡」。直觀上，這可以透過考慮到如果確實存在套利機會，則可以預期價格會發生變化，因此它們不處於均衡狀態。[ 14 ]因此，套利均衡是一般經濟均衡的先決條件。
這裡的「完整」意味著世界上每一種可能的狀態下的每一種資產都有一個價格，，因此可以使用現有資產構建對未來世界狀態的完整可能賭注（假設沒有摩擦）：本質上同時求解n （風險中性）機率，，給定n 個價格。有關簡化示例，請參閱理性定價§風險中性估值，其中經濟只有兩種可能的狀態 - 上漲和下跌 - 並且其中和( =) 是兩個對應的機率，進而為導出的分佈或「測量」。
正式推導將透過套利論證進行。[ 6 ] [ 14 ] [ 11 ]這裡的分析通常是假設一個有代表性的代理人，[ 15 ]基本上將所有市場參與者，「代理人」視為相同的（或者，至少，假設他們的行為方式是：他們的選擇總和相當於一個人的決定），這樣問題就可以在數學上解決。
採取此措施後，任何證券（或投資組合）的預期回報（即所需回報）將等於無風險回報加上“風險調整”，[ 6 ]即特定於證券的風險溢價，補償其現金流量的不可預測程度。在給定特定假設或條件的情況下，所有定價模型本質上都是其變體。[ 6 ] [ 5 ] [ 16 ]此方法與上述方法一致，但基於「市場」（即無套利，且根據定理，因此處於均衡狀態）的預期而非個人偏好。
繼續這個例子，在對衍生工具進行定價時，其在上述上升和下降狀態下的預測現金流量和, 乘以和，然後以無風險利率折現；根據上面的第二個方程式。另一方面，在對「基本面」基礎工具（處於均衡狀態）進行定價時，貼現時需要相對於無風險的適當風險溢價，本質上採用第一個方程和合併。此溢價可能由CAPM （或擴展）得出，如第 § 不確定性中所示。
差異解釋如下：透過構造，衍生性商品的價值將（必須）以無風險利率成長，並且透過套利論證，其價值必須相應地折現；就選擇權而言，這是透過將工具「製造」為標的和無風險「債券」的組合來實現的；請參閱理性定價§ Delta 對沖（以及下文§ 不確定性）。當標的資產本身被定價時，這種“製造”當然是不可能的——該工具是“基礎工具”，即與“衍生工具”相反——並且需要溢價來應對風險。
（相應地，數學金融分為兩種分析系統：風險和投資組合管理（通常）使用物理（或實際或精算）機率，以「P」表示；而衍生性商品定價使用風險中性機率（或套利定價機率），在特定應用中使用小寫字母“Q”表示，如上面的方程式所示。
國家價格
建立上述關係後，可以匯出 進一步專業化的Arrow-Debreu模型。 [註4 ] 此結果表明，在某些經濟條件下，必須存在一套價格，使得經濟中每種商品的總供給等於總需求。阿羅-德布魯模型適用於具有最大完全市場的經濟體，其中每個時間段都存在市場，並且每個商品在所有時間段都存在遠期價格。
那麼，直接延伸就是狀態價格證券的概念，也稱為阿羅-德布魯證券，這是一種合同，同意在發生特定狀態（“上漲”）時支付一個計價單位（一種貨幣或商品） 。該證券的價格為國家價格 世界的這種特殊狀態；也稱為“風險中性密度”。[ 20 ]
在上面的例子中，國家價格，, 將等於現值和：即今天分別為上州和下州證券支付的費用；州價格向量是所有州的州價格向量。應用到衍生性商品估值，今天的價格將是[×+×]：第四個公式（請參閱上文關於此處不存在風險溢酬的內容）。對於指示可能狀態的連續體的連續隨機變量，透過對狀態價格「密度」 進行積分來找到該值。
國家價格作為一種概念工具可以立即應用（「或有債權分析」）；[ 6 ]但也可以應用於估價問題。[ 21 ]考慮到所描述的定價機制，人們可以將衍生價值分解——事實上對於「每種證券」[ 2 ]都是如此——作為其狀態價格的線性組合；即反求解與觀察到的衍生性商品價格相對應的狀態價格。[ 22 ] [ 21 ] [ 20 ] 這些恢復的狀態價格可以用於對與標的資產相關的其他工具進行估值，或用於與標的資產本身相關的其他決策。
使用相關的隨機貼現因子（也稱為定價內核），資產價格是透過隨機因子「折現」未來現金流來計算的，然後取期望值；[ 16 ] 上面的第三個方程式。本質上，該因素將相關未來時期的預期效用（每個狀態下可能實現的資產價值的函數）除以今天財富的效用，也稱為「跨期邊際替代率」。
所得模型
債券估值公式，其中息票和麵值以適當的利率折現，「i」：通常是（每期）無風險利率的利差，作為信用風險的函數；通常被稱為“到期收益率”。請參閱正文以討論與上述定價公式的關係。 |
DCF 估值公式，其中公司的價值是使用加權平均資本成本（即股權成本和債務成本）折現至當前的預測自由現金流，前者（通常）使用以下 CAPM 得出。對於股票估值，投資者使用相關的股息折現模型。 |
![{\displaystyle \sum _{t=1}^{n}{\frac {FCFF_{t}}{(1+WACC_{t})^{t}}}+{\frac {\left[{\frac {FCFF_{n+1}}{(WACC_{n+1}-g_{n+1})}}\right]}{(1+WACC_{n})^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22b05672cab39b95519d0347e9a4892559f1531)
資本資產定價模型（CAPM）： |
買權價值的 Black-Scholes 公式： |
![{\displaystyle {\begin{對齊}C(S,t)&=N(d_{1})SN(d_{2})Ke^{-r(Tt)}\\d_{1}&={\壓裂{1}{\sigma {\sqrt {Tt}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^ { 2}}{2}}\right)(Tt)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {Tt}}\\\end{對齊}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363)
應用上述經濟概念，我們可以推導出各種經濟和金融模型和原理。如上所述，兩個通常關注的領域是資產定價和公司金融，第一個是資本提供者的視角，第二個是資本使用者的視角。在這裡，對於（幾乎）所有其他金融經濟模型，所解決的問題通常是根據「時間、不確定性、選項和資訊」來建構的，[ 1 ] [ 15 ]，如下所示。
- 時間：現在的錢可以用來交換未來的錢。
- 不確定性（或風險）：未來要轉移的金額是不確定的。
- 選項：交易一方可以稍後做出決定，這將影響後續的資金轉移。
- 資訊：對未來的了解可以減少或可能消除與未來貨幣價值（FMV）相關的不確定性。
應用該框架以及上述概念，可以得到所需的模型。此推導從「無不確定性」的假設開始，然後擴展以納入其他考慮因素。[ 4 ]（這種劃分有時表示“確定性”和“隨機”，[ 23 ]或“隨機”。）
肯定
這裡的出發點是“確定性下的投資”，通常是在公司的背景下進行的。費雪分離定理斷言，公司的目標將是其現值的最大化，而不管其股東的偏好如何。相關的是莫迪利亞尼-米勒定理，該定理表明，在某些條件下，公司的價值不受公司融資方式的影響，也不取決於其股息政策，也不取決於其透過發行股票或出售債務籌集資金的決定。這裡的證明使用套利論證進行，並作為評估模型外部確實影響價值的因素的影響的 基準[ 11 ] 。 [註5 ]
決定（公司）價值的機制由 [ 26 ] [ 27 ] 約翰·伯爾·威廉斯（John Burr Williams）的《投資價值理論》提供，該理論提出資產的價值應使用「現值規則評估」來計算。因此，對普通股來說，「內在」長期價值是其未來淨現金流量的現值（以股利的形式） 。尚待確定的是適當的折現率。後來的發展表明，“理性地”，即在形式意義上，這裡適當的貼現率將（應該）取決於資產相對於整體市場的風險，而不是其所有者的偏好；見下文。淨現值(NPV) 是這些通常應用於公司財務決策的想法的直接延伸。有關其他結果以及此處開發的具體模型，請參閱財務概要§折現現金流量估值下的「股權估值」主題清單。 [註6 ]
債券估值，因為現金流（息票和本金回報，或“面值”）是確定性的，可以以相同的方式進行。[ 23 ]立即擴展，無套利債券定價，以市場衍生利率（即每張息票相應的零利率和同等信用度）對每筆現金流進行折現，而不是總體利率。在許多處理方法中，債券估值先於股票估值，其中現金流量（股息）本身並不「已知」 。威廉斯等人允許根據歷史比率或公佈的股息政策對這些進行預測，然後現金流量被視為本質上是確定性的；參見下文§公司財務理論。
對於股票和債券來說，“在確定性的情況下，重點關注證券隨時間的現金流量”，基於利率期限結構的估值實際上與無套利定價是一致的。[ 28 ]事實上，上述 推論是「一價定律意味著折扣因素的存在」；[ 29 ] 相應地，如公式所示，。
儘管這些「確定性」結果在公司財務中都是常用的，但不確定性才是「資產定價模型」的重點，如下所示。費雪在這裡提出的理論 - 發展跨期均衡模型- 也支持[ 26 ]以下對不確定性的應用； [註7 ]開發 參見[ 30 ] 。
不確定
對於「不確定性下的選擇」 ，理性和市場效率的雙重假設（更嚴格地定義）導致了現代投資組合理論（MPT）及其資本資產定價模型（CAPM）——基於均衡的結果——以及布萊克-斯科爾斯模型–期權定價（BSM；通常簡稱布萊克-斯科爾斯）——無套利的結果。如上所述，它們之間的（直觀）聯繫是，後者的衍生性商品價格的計算使得它們相對於更基本的、均衡確定的證券價格是無套利的；請參閱資產定價§相互關係。
簡單而直觀地——並且與上面的§無套利定價和均衡一致——合理性和效率之間的關係如下。[ 31 ] 鑑於能夠從私人資訊中獲利，自私的交易者有動機獲取並利用他們的私人資訊採取行動。在這樣做的過程中，交易者對越來越「正確」（即有效）的價格做出了貢獻：有效市場假說（EMH）。因此，如果金融資產的價格（整體上）是有效的，那麼偏離這些（均衡）價值的情況就不會持續很長時間。 （請參閱收益反應係數。）有效市場假說（隱含地）假設平均預期構成“最優預測”，即使用所有可用資訊的價格與對未來的最佳猜測相同：理性預期的假設。有效市場假說確實允許，當面對新資訊時，一些投資者可能反應過度，一些投資者可能反應不足， [ 32 ]但是，所要求的是投資者的反應遵循正態分佈——這樣對市場價格的淨影響就不能被預測。那麼，在競爭限制下，市場價格將反映所有可用信息，並且價格只能根據消息而變化：[ 33 ]隨機遊走假設。當然，這個消息可能是“好”或“壞”，可能是次要消息，也可能是不太常見的重大消息。相應地，這些移動是常態分佈的；因此價格遵循對數常態分佈。 [註8 ]
在這些條件下，可以假設投資者的行為是理性的：他們的投資決策必須經過深思熟慮，否則肯定會遭受損失；[ 32 ]相應地，當套利機會出現時，套利者就會利用它，從而加強這種平衡。這裡，正如在上述確定性情況下一樣，關於定價的具體假設是，價格是 根據當前可用資訊計算為預期未來股息的現值， [ 5 ] [ 33 ] [ 15 ] 。然而，考慮到這種不確定性，我們需要的是確定適當折現率的理論，即「所需回報」：這是由 MPT 及其 CAPM 提供的。與此相關的是，理性──在套利利用的意義上──產生了布萊克-斯科爾斯理論；這裡的期權價值最終與CAPM一致。
一般來說，雖然投資組合理論研究投資者在投資許多資產或證券時應如何平衡風險和回報，但 CAPM 的重點更集中，描述在均衡狀態下市場如何根據資產的風險程度來設定資產價格。 [註9 ] 此結果將獨立於投資者的風險規避水準和假設的效用函數，從而為上述的公司財務決策者和其他投資者提供易於確定的折現率，[ 36 ]。論證如下：[ 37 ] 如果可以建構一個有效邊界－即每種資產組合為其風險水平提供最佳預期報酬水平，見圖－那麼平均值-方差有效投資組合可以簡單地形成為持有無風險資產和「市場投資組合」（共同基金分離定理）的組合，此處的組合繪製為資本市場線（CML）。然後，給定此 CML，風險證券所需的回報將獨立於投資者的效用函數，並且僅由其與整體風險（即市場風險）的協方差（「beta」）決定。這是因為投資者可以透過槓桿而不是定價來最大化效用；請參閱分離財產（金融）、馬科維茨模型§ 選擇最佳投資組合和 CML 圖。從公式中可以看出，這個結果與前面一致，等於無風險報酬加上風險調整。[ 5 ] 本節底部描述了一種更現代、直接的推導；可以推廣到其他均衡定價模式。
布萊克-斯科爾斯提供了包含衍生性工具的金融市場的數學模型，以及歐式選擇權價格的最終公式。 [註10 ] 模型表示為Black-Scholes方程，這是一個描述選擇權價格隨時間變化的偏微分方程；它是在假設對數常態、幾何布朗運動的情況下得出的（參見金融市場的布朗模型）。該模型背後的關鍵財務見解是，人們可以透過以正確的方式買賣標的資產來完美對沖期權，從而“消除風險”，而無需對定價進行風險調整（，選擇權的價值或價格成長，無風險利率）。[ 6 ] [ 5 ] 反過來，這種對沖意味著該選擇權只有一個正確的價格（在無套利的意義上）。這個價格是由布萊克-斯科爾斯期權定價公式回報的。 （公式以及價格與方程式一致，因為公式是方程式的解。）由於公式沒有參考股票的預期回報，布萊克-斯科爾斯固有風險中立；直觀上與這裡的「消除風險」一致，並且在數學上與上面的§無套利定價和均衡一致。因此，相關地，定價公式也可以直接透過風險中性預期推導。 伊藤引理提供了基礎數學，並且與更廣泛的伊藤微積分一起，仍然是定量金融的基礎。 [註11 ]
正如基本定理所暗示的，兩個主要結果是一致的。這裡，Black Scholes 方程式也可以從 CAPM 推導出來，因此 Black-Scholes 模型得到的價格與 CAPM 的假設是一致的。[ 45 ] [ 13 ] 布萊克-斯科爾斯理論雖然建立在無套利定價的基礎上，但因此與基於均衡的資本資產定價是一致的。反過來，這兩種模型最終都與阿羅-德布魯理論一致，並且可以透過國家定價推導出來——本質上是透過擴展上述基本結果——進一步解釋並在需要時證明這種一致性。[ 6 ] 這裡，CAPM 是透過連結得出的、風險規避、整體市場回報、設定安全回報作為;請參閱隨機貼現因子§屬性。 Black-Scholes 公式是在極限情況下透過將二項式機率[ 11 ]附加到眾多可能的現貨價格（即狀態）中的每一個，然後重新排列對應於和，依盒裝說明；請參閱二項式選擇權定價模型§與布萊克-斯科爾斯的關係。
擴充
最近的工作進一步概括並擴展了這些模型。至於資產定價，基於均衡的定價的發展將在下面的「投資組合理論」下討論，而「衍生性商品定價」涉及風險中性，即無套利定價。關於資本的使用，「公司財務理論」主要涉及這些模型的應用。
投資組合理論
這裡的大部分發展與所需回報有關，即定價、擴展基本 CAPM。多因素模型，例如Fama-French 三因素模型和Carhart 四因素模型，提出了市場回報以外的與定價相關的因素。跨期 CAPM和基於消費的 CAPM類似地擴展了模型。透過跨期投資組合選擇，投資者現在可以反覆優化其投資組合；而消費（經濟意義上的）則將所有財富來源（而不僅僅是基於市場的投資）納入投資者所需回報的計算中。
雖然上述擴展了 CAPM，但單指標模型是一個更簡單的模型。它僅假設證券與市場回報之間的相關性，而沒有（許多）其他經濟假設。它的有用之處在於它簡化了證券之間相關性的估計，顯著減少了建立投資組合優化所需的相關性矩陣的輸入。套利定價理論（APT）的假設也同樣不同。 APT“放棄了世界上每個人都有一個合適的投資組合的觀念，並......用驅動資產回報的解釋模型取而代之。” [ 46 ]它將金融資產的所需（預期）回報返回為各種宏觀經濟因素的線性函數，並假設套利應使錯誤定價的資產恢復正常。[註12 ]APT的線性因子模型結構被用來作為資產管理公司所採用的許多商業風險系統的基礎。
在投資組合最佳化方面，Black-Litterman 模型[ 49 ] 背離了原始的馬科維茨模型，即透過有效邊界建立投資組合。相反，Black–Litterman 從均衡假設開始，然後進行修改以考慮相關投資者的「觀點」（即有關資產回報的具體意見），以達到定制的[ 50 ]資產配置。如果考慮波動性以外的因素（峰度、偏度…），則可以應用多標準決策分析；這裡推導出帕累託有效投資組合。通用投資組合演算法將機器學習應用於資產選擇，從歷史資料中自適應學習。行為投資組合理論認識到投資者有不同的目標，並創建滿足廣泛目標的投資組合。 Copula最近在這裡被應用；最近，遺傳演算法和機器學習也是如此。 （尾部） 風險平價著重於風險分配，而不是資本分配。 [註13 ]有關其他技術與目標， 請參閱投資組合最佳化§改善投資組合最佳化，以及財務風險管理§投資管理進行討論。
衍生性商品定價
零息債券的 PDE： 解釋：與布萊克-斯科爾斯類似， [ 51 ] 套利參數描述了債券價格的瞬時變化（無風險）短期利率的變化;分析師選擇要採用的 特定短期利率模型。 |
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r) +\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}=rP}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fac48f16eaeec661a5c4cc1d966b021ff1b25c4)
在衍生性商品定價中，二項式選擇權定價模型提供了 Black-Scholes 的離散化版本，可用於美式選擇權的估價。這種類型的離散模型是使用狀態價格建構的（至少是隱含的）（如上所述）；相關地，大量研究人員使用選擇權來提取國家價格，用於金融經濟學中的各種其他應用。[ 6 ] [ 45 ] [ 22 ]對於路徑依賴衍生性商品，採用蒙特卡羅方法進行選擇權定價；這裡的建模是連續時間的，但同樣使用風險中立期望值。也開發了各種其他數值技術。理論架構也得到了擴展，使得鞅定價現在成為標準方法。 [註14 ]
利用這些技術，還開發了各種其他基礎和應用程式的模型，所有模型都基於相同的邏輯（使用「或有債權分析」）。實物選擇權估價允許選擇權持有者可以影響選擇權的標的物；員工股票選擇權估價模型明確假設選擇權持有者的非理性；信用衍生性商品允許付款義務或交付要求可能無法履行。奇異衍生品現在通常受到重視。多資產底層證券透過模擬或基於關聯的分析進行處理。
同樣，各種短期利率模型允許將這些技術擴展到固定收益和利率衍生性商品。 （Vasicek和CIR模型是基於均衡的，而Ho-Lee和後續模型是基於無套利定價的。）更通用的HJM 框架描述了完整遠期利率曲線的動態，而不是使用短期利率——然後得到更廣泛的應用。基礎工具的估值（除了其衍生性工具之外）也相應延長，特別是對於混合證券，其中信用風險與未來利率的不確定性相結合；請參閱債券估價§隨機微積分方法和格子模型（金融）§混合證券。 [註15 ]
1987 年股市崩盤之後，美國市場上交易的股票選擇權開始呈現所謂的「波動性微笑」；也就是說，對於給定的到期日，執行價格與標的資產價格顯著不同的選擇權所要求的價格和隱含波動率均高於 BSM 所建議的價格。 （不同市場的模式有所不同。）對波動率微笑進行建模是一個活躍的研究領域，下一節將討論這裡的發展以及對標準理論的影響。
2007-2008 年金融危機之後，進一步發展：[ 60 ]如前所述，（場外）衍生品定價依賴於 BSM 風險中性定價框架，假設以無風險利率融資並有能力完美地定價。流以充分對沖。反過來，這是建立在無信用風險環境的假設之上的——這一假設在危機期間受到了質疑。因此，為了解決這個問題，現在在定價時額外考慮諸如交易對手信用風險、融資成本和資本成本之類的問題， [ 61 ]和信用估值調整，或CVA——以及潛在的其他估值調整，統稱為xVA－通常被添加到風險中立的衍生價值。標準的經濟論點可以擴展以納入這些不同的調整。[ 62 ]
一個相關的、或許更根本的變化是，折現現在是在隔夜指數掉期(OIS) 曲線上，而不是之前使用的倫敦銀行同業拆借利率 (LIBOR ) 。[ 60 ]這是因為危機後，隔夜利率 被認為是「無風險利率」的較好替代指標。[ 63 ] （此外，實際上，現金抵押品支付的利息通常是隔夜利率；OIS貼現有時被稱為「CSA折現」。）掉期定價——以及因此產生的收益率曲線構建——被進一步修改：以前，互換是根據單一的「自我貼現」利率曲線進行估值的；而危機後，為了適應 OIS 折現，估值現在處於“多曲線框架”下，其中為每個浮動期限LIBOR 期限構建“預測曲線” ，並在共同的OIS 曲線上進行貼現。
公司財務理論
反映上述發展，企業財務估值和決策不再需要假設「確定性」。 金融中的蒙特卡羅方法允許金融分析師建立「隨機」或機率性公司財務模型，而不是傳統的靜態和確定性模型；[ 64 ]參考公司財務§量化不確定性。與此相關的是，實物選擇權理論允許所有者（即管理層）採取影響潛在價值的行動：透過納入選擇權定價邏輯，這些行動隨後應用於隨時間變化的未來結果的分佈，從而確定當前“項目”的估值。[ 65 ] 更傳統的是，決策樹（互補性）被用來評估項目，透過在評估中納入（所有）可能的事件（或狀態）和隨後的管理決策；[ 66 ] [ 64 ]這裡的正確折現率反映了每個決策點的「不可分散的未來風險」。[ 64 ] [註 16 ]
與此相關的是股權估值中預測現金流的處理。在許多情況下，根據上述威廉斯的觀點，平均（或最有可能）現金流量被貼現，[ 68 ]，而不是在不確定性下理論上正確的逐州處理；請參閱財務建模§會計下的評論。那麼，在更現代的處理方法中，它是預期現金流（在數學意義上：）合併為每個預測期間的折現總價值。 [ 69 ] [ 70 ] [ 71 ] [ 64 ] 使用 CAPM（或擴展），這裡的折現是無風險利率加上與實體或專案現金流的不確定性相關的溢價 [ 64 ] （本質上，和合併）。
這裡的其他發展包括[ 72 ] 代理理論，該理論分析了激勵公司管理層（「代理人」；與上述含義不同）以股東（「委託人」）的最佳利益行事的困難，而不是他們自己的利益；這裡強調與資本結構相關的問題。 [ 73 ] 淨盈餘會計和相關的剩餘收入估值提供了一個模型，該模型將價格返回為收益、預期回報和帳面價值變化（而不是股息）的函數。這種觀點在某種程度上是由於莫迪利亞尼和米勒的「不相關原則」認為股利政策不能影響價值的隱含矛盾，即將價值視為股利的函數；參見股利政策§股利政策的相關性。
根據上述費雪的說法，「公司財務」作為一門更普遍的學科，與公司價值最大化及其股東回報最大化的長期目標相關，因此也包含資本結構和股利政策領域。 [ 74 ] 這裡理論的擴展也考慮了後者，如下：（i）優化再資本化結構，以及關於公司選擇和行為的理論：資本結構替代理論，優序融資理論，市場時機假設，貿易-偏離理論； (ii)對股利政策的考量與分析，除了莫迪利亞尼-米勒之外，有時與莫迪利亞尼-米勒形成對比，還包括：沃爾特模型、林特納模型、殘差理論和訊號假說，以及對觀察到的顧客效應和股利難題的討論。
如上所述，實物選擇權的典型應用是解決資本預算類型的問題。然而，在這裡，它們也適用於資本結構和股利政策問題，以及公司證券的相關設計； [ 75 ] 並且由於股東和債券持有人有不同的目標函數，在分析相關代理問題時。 [ 65 ] 在所有這些情況下，國家價格可以提供與公司相關的市場隱含訊息，如上所述，然後將其應用於分析。例如，可轉換債券的定價可以（必須）與公司股權的（恢復的）國家價格一致。[ 21 ] [ 69 ]
金融市場
正如所概述的，該學科還包括對金融市場的正式研究。尤其令人感興趣的是市場監管和市場微觀結構及其與價格效率的關係。
監管經濟學總體上研究監管經濟學。在金融方面，它將討論金融監理對市場運作和價格效率的影響，同時也權衡市場信心和金融穩定性的相應成長。這裡的研究考慮了與揭露（收益指引、年度報告）、內線交易和賣空相關的法規將如何以及在多大程度上影響價格效率、股權成本和市場流動性。[ 76 ]
市場微觀結構關注市場中交換如何發生的細節（以瓦爾拉斯市場、匹配市場、費舍爾市場和 阿羅德布魯市場為原型），並“分析特定的交易機制如何影響價格形成過程”，[ 77 ]研究市場過程如何影響交易成本、價格、報價、交易量和交易行為的決定因素。例如，它已被用來解釋長期存在的匯率難題，[ 78 ]和股權溢價難題。[ 79 ] 與上述經典方法相反，這裡的模型明確考慮（測試其影響）市場摩擦和其他缺陷；另請參閱市場設計。
對於監管[ 80 ]和微觀結構，[ 81 ]和一般來說，[ 82 ] 可以開發基於代理的模型[ 83 ]來檢查由於結構或政策變化而產生的任何影響，或者對市場動態進行推論，方法是：在人工金融市場（AFM）中 。 [註17 ] 這種方法本質上是模擬眾多代理之間的交易，「通常使用人工智慧技術[通常是遺傳演算法和神經網路]來代表市場參與者的適應性行為」。[ 83 ]
這些“自下而上”的模型“從代理行為的首要原則開始”，[ 84 ]參與者隨著時間的推移修改他們的交易策略，並且“能夠描述從個體湯中出現的宏觀特徵[即程序化事實]」。互動策略」。[ 84 ] 基於代理人的模型進一步偏離了經典方法（如概述的代表代理），因為它們將異質性引入環境中（從而也解決了聚合問題）。
挑戰與批評
如上所述，兩者之間存在非常密切的聯繫：一方面，隨機遊走假設，與價格變化應遵循常態分佈的相關信念有關；另一方面是市場效率和理性預期。通常觀察到與這些的廣泛背離，因此分別存在兩組主要挑戰。
偏離常態
如所討論的，市場價格遵循隨機遊走和資產回報呈常態分佈的假設是基本的。然而，經驗證據表明這些假設可能不成立，在實踐中，交易員、分析師和風險管理者經常修改「標準模型」（參見峰度風險、偏度風險、長尾風險、模型風險）。事實上，Benoit Mandelbrot在 20 世紀 60 年代就已經發現 [ 85 ] ，金融價格的變化並不遵循正態分佈，這是許多期權定價理論的基礎，儘管這一觀察緩慢地進入主流金融經濟學。 [ 86 ]
引入長尾分佈和波動聚類的金融模型來克服上述「經典」金融模型的現實性問題；而跳躍擴散模型允許（選擇權）定價將「跳躍」納入現貨價格。[ 87 ]類似地，風險管理者以歷史模擬、混合模型、主成分分析、極端值理論、波動性聚集模型 來補充（或取代）標準風險價值模型。[ 88 ] 進一步的討論參見厚尾分佈§經濟學中的應用與風險價值§批評。同樣，投資組合經理也修改了他們的最佳化標準和演算法；參見上文§投資組合理論。
密切相關的是波動性微笑，其中，如上所述，隱含波動性（對應於 BSM 價格的波動性）被觀察到作為執行價格（即貨幣性）的函數而有所不同，僅當價格變化分佈非常態時才成立，與 BSM 假設的不同。波動率的期限結構描述了不同期限的相關選擇權的（隱含）波動率有何不同。隱含波動率曲面是波動率微笑和期限結構的三維曲面圖。這些經驗現象否定了布萊克-斯科爾斯理論所依據的恆定波動性和對數常態性假設。 [ 40 ] [ 87 ] 在機構內部，Black-Scholes 的功能現在主要是透過隱含波動率來傳達價格，就像透過YTM傳達債券價格一樣；參見布萊克-斯科爾斯模型§波動性微笑。
因此，交易者（和風險管理者）現在首先使用「微笑一致」模型，在對未直接映射到表面的衍生品進行估值時，促進其他（即非報價、執行/到期組合）的定價，或非歐洲衍生品，通常用於對沖目的。兩種主要方法是局部波動率和隨機波動率。第一個回報基於有限差分或基於模擬的估值的每個現貨時間點「局部」的波動率；即與隱含波動率相反，隱含波動率大致上是成立的。透過這種方式，計算出的價格和數字結構在無套利的意義上是與市場一致的。第二種方法假設基礎價格的波動是隨機過程而不是常數。這裡的模型首先根據觀察到的價格進行校準，然後應用於相關的估值或對沖；最常見的是Heston、SABR和CEV。這種方法解決了在局部波動下進行對沖所發現的某些問題。[ 89 ]
與局部波動性相關的是基於格的隱含二項式和三項式樹——本質上是該方法的離散化——它們與定價類似，但不太常見[ 20 ] ；這些都是建立在從地面恢復的國家價格的基礎上的。Edgeworth 二項式樹允許現貨價格中指定的（即非高斯）偏斜和峰度；在此定價，具有不同行使價的選擇權將返回不同的隱含波動率，並且可以根據需要將樹校準為微笑。[ 90 ]也發展了 類似目的（和衍生的）封閉式模型。 [ 91 ]
如所討論的，除了假設回報呈對數正態性之外，「經典」BSM 型模型還（隱含地）假設存在無信用風險的環境，在這種環境中，人們可以完美地複製現金流，以便完全對沖，然後折現以“the”無風險利率。因此，危機後，必須採用各種 x 值調整，有效修正交易對手和融資相關風險的風險中性值。這些 xVA 是對任何微笑或表面效果的補充。這是有效的，因為表面是建立在與完全抵押頭寸相關的價格數據之上的，因此在附加 xVA 時不會出現信用風險（等）的「重複計算」。 （如果不是這樣的話，那麼每個交易對手都會有自己的表面...）
如同上述的，數學金融（尤其是金融工程）更關心數學一致性（和市場現實），而不是與經濟理論的兼容性，因此上述「極端事件」方法、微笑一致模型和估值調整應該被忽視。認識到這一點，金融經濟學的批評者——尤其是2007-2008 年金融危機以來的批評者——建議相反，該理論幾乎需要重新審視：[註 18 ]
- 「目前的系統是基於風險以鐘形曲線的形式分佈的理念，是有缺陷的......問題是（經濟學家和從業者）永遠不會放棄鐘形曲線。他們就像相信太陽的中世紀天文學家一樣圍繞著地球旋轉，並 在面對相反的證據時瘋狂地調整他們的地心數學。[ 92 ]
偏離理性
| 市場異常和經濟難題 |
正如我們所看到的，一個常見的假設是財務決策者的行為是理性的。參見經濟人。然而，最近，實驗經濟學和實驗金融學的研究人員從實證上挑戰了這個假設。這些假設在理論上也受到行為金融學的挑戰，行為金融學是一門主要關注經濟主體理性限制的學科。 [註19 ] 有關公司財務理論及其實務的相關批評，請參閱：。[ 93 ]各種持續存在的 市場異常 也被記錄為與價格或回報扭曲（例如規模溢價）一致且互補，這似乎與有效市場假說相矛盾。在這些市場異常現像中，日曆效應是最常被提及的一組。
與這些相關的是各種經濟難題，涉及同樣與理論相矛盾的現象。舉個例子，股票溢價之謎的出現是因為觀察到的股票回報與政府債券之間的差異始終高於理性股票投資者應要求的風險溢價，即「異常回報」。如需更多上下文，請參閱隨機遊走假設§非隨機遊走假設，以及特定實例的側邊欄。
更普遍的是，特別是在2007-2008 年金融危機之後，金融經濟學和數學金融學受到了更深入的批評。這裡值得注意的是納西姆·尼古拉斯·塔勒布（Nassim Nicholas Taleb），他聲稱金融資產的價格不能用目前使用的簡單模型來表徵，這使得當前的大部分實踐充其量是無關緊要的，而在最壞的情況下，會產生危險的誤導；參見黑天鵝理論、塔勒布分佈。因此，人們普遍感興趣的一個主題是金融危機， [ 94 ] 以及（金融）經濟學未能對這些危機進行建模（和預測）。
一個相關的問題是系統性風險：如果公司彼此持有證券，那麼這種相互關聯性可能會帶來一條「價值鏈」——而一家公司或證券的表現將影響所有人，這種現像不容易建模，無論個別模型是正確的。參見：系統性風險§經典估值模型的不足；金融網絡中的級聯；追求品質。
試圖解釋（或至少模擬）這些現象和危機的研究領域包括[ 15 ] 噪音交易、市場微觀結構（如上所述）和異質代理模型。如前所述，後者擴展到基於代理的計算模型；這裡[ 82 ]價格被視為一種新興現象，是各種市場參與者（代理人）相互作用的結果。噪音市場假說認為，價格可能受到投機者和動量交易者的影響，也可能受到經常出於與基本價值無關的原因買賣股票的內部人士和機構的影響。請參閱噪音（經濟）。適應性市場假說試圖透過將演化原理應用於金融互動來協調有效市場假說與行為經濟學。另一方面，資訊級聯顯示市場參與者從事與其他人相同的行為（「羊群行為」），儘管與他們的私人資訊相矛盾。基於 Copula 的建模也得到了類似的應用。另請參閱海曼·明斯基的“金融不穩定假說”，以及 喬治·索羅斯對“反身性”的應用。
然而，研究表明，儘管效率低下，但資產價格通常遵循隨機遊走，因此很難持續跑贏市場平均水平並實現「阿爾法」。[ 95 ]作為這些低效率的解釋，有時會提到套利的製度限制（而不是與理論直接矛盾的因素）。實際意義是，平均而言，被動投資（例如透過低成本指數基金）應該比其他主動策略更好。[ 96 ] [註 20 ]
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耶 穌 對 他 說 ： 你 要 盡 心 、 盡 性 、 盡 意 愛 主 ─ 你 的 神 。
—— Matthew 22:37 —— 馬 太 福 音 22:37