劃分並選擇（經濟學）

 分割和選擇（也稱為剪切和選擇或我切，你選擇）是在兩方之間公平劃分連續資源（例如蛋糕）的過程。它涉及一種異質商品或資源（“蛋糕”）和兩個對蛋糕的各個部分有不同偏好的合作夥伴（都想要盡可能多的蛋糕）。程序如下：一個人（「切刀者」）將蛋糕切成兩塊；另一個人（「選擇者」）選擇其中一個棋子；切割機接收剩餘的部分。^[ 1 ]

自古以來，有些人就使用這種程序在兩方之間分配土地、糧食和其他資源。目前，有一個完整的研究領域，稱為公平蛋糕切割，致力於切割和選擇的各種擴展和概括。^{[ 2 ] [ 3 ]}

歷史

聖經《創世記》 （第 13 章）中提到了分而治之。當亞伯拉罕和羅得來到迦南地時，亞伯拉罕建議他們將迦南地分給他們。然後，來自南方的亞伯拉罕將土地分為「左」（西）部分和「右」（東）部分，讓羅得選擇。羅得選擇了東部，包括所多瑪和蛾摩拉，而亞伯拉罕則留下了西部，包括貝爾謝巴、希伯倫、伯特利和示劍。

《聯合國海洋法公約》採用類似分而選擇的程序來在各國之間分配海洋區域。已開發國家申請海洋礦物開採許可證必須準備兩個價值大致相似的區域，讓聯合國當局選擇其中一個區域保留給發展中國家，並獲得另一個區域進行開採：^{[ 4 ] [ 5 ]}

每項申請...應覆蓋總面積...足夠大且具有足夠的估計商業價值，以允許兩個採礦作業...具有相同的估計商業價值...在收到此類數據後45 天內，管理局應指定哪一個採礦作業部分僅保留用於管理局通過企業部或與發展中國家聯合開展的活動…一旦非保留區的工作計劃獲得批准和批准，指定的區域應成為保留區合同已簽訂。^[ 6 ]

分析

一塊蛋糕切成兩塊

從以下意義上講，分而選是無嫉妒的：兩個合夥人中的每一個都可以按照自己的主觀品味來保證，他們分配的份額至少與另一個份額一樣有價值，無論其分配的份額如何。以下是每個夥伴可以採取的行動：^{[ 2 ] [ 3 ]}

• 切刀者可以將蛋糕切成他們認為相等的兩塊。然後，無論選擇者做什麼，他們都會留下與另一塊一樣有價值的一塊。
• 選擇者可以選擇他們認為更有價值的作品。然後，即使切割者將蛋糕分成不相等的塊（在選擇者的心中），選擇者也沒有理由抱怨，因為他們選擇了他們想要的那塊。

對於外部觀察者來說，這種分配可能看起來不公平，但對於兩個參與其中的合夥人來說，這種分配是公平的——沒有一個合夥人有理由嫉妒對方的份額。

如果合夥人的價值函數是加性函數，那麼分而選在以下意義上也是成比例的：每個合夥人可以採取一種方式來保證他們分配的份額的價值至少為蛋糕總價值的 1/2 。這是因為，透過累積估值，每一個無嫉妒的分配也是成比例的。

該協議既適用於劃分所需資源（如公平切蛋糕），也適用於劃分不需要的資源（如家務分配）。

分治法假定雙方擁有平等的權利，並希望自行決定分割或使用調解而非仲裁。假定貨物可以以任何方式分割，但各方對這些比特的估價可能不同。

切割者有盡可能公平分配的動機：如果他們不這樣做，他們可能會收到不想要的部分。該規則是無知之幕概念的具體應用。

分而選的方法並不能保證每個人都能按照自己的估價得到恰好一半的蛋糕——切割者可能會與選擇者不同地看待蛋糕各部分的優勢，無論如何，選擇者都會選擇他認為更好的一半。因此，「劃分和選擇」過程不會產生精確的劃分。精確分割沒有明確的程序，但可以使用兩把動刀來完成；請參閱奧斯汀動刀程序。

概括與改進

兩方以上的分配

分而選擇僅適用於雙方。當參與者較多時，可以使用其他程序，例如最後一個遞減器或Even-Paz 協定。 1959 年 5 月，馬丁·加德納 (Martin Gardner)在《科學美國人》雜誌的「數學遊戲專欄」中普及了為較大群體設計類似的公平程序的問題。^[ 7 ]另見比例切蛋糕。《科學美國人》報導了一種更新的方法。^[ 8 ]它是由 Aziz 和 Mackenzie 開發的。^[ 9 ]雖然原則上比之前的方法更快，但它仍然可能非常慢。觀看無羨慕的切蛋糕。

高效率分配

分而治之可能會產生低效率的分配。常用的例子是一半香草一半巧克力的蛋糕。假設鮑伯只喜歡巧克力，卡羅爾只喜歡香草。如果鮑伯是切刀者，而他不知道卡羅爾的偏好，那麼他的安全策略就是分割蛋糕，使每一半都包含等量的巧克力。但是，無論卡羅爾如何選擇，鮑勃都只能得到一半的巧克力，這種分配顯然不是帕累託有效的。鮑勃完全有可能在無知的情況下將所有香草（和一定量的巧克力）放在一個更大的部分中，因此卡羅爾得到了她想要的一切，而他得到的卻比他通過談判得到的要少。如果鮑伯知道卡蘿的喜好並且喜歡她，他可以將蛋糕切成全巧克力塊和全香草塊，卡羅爾會選擇後者，而鮑伯會得到所有巧克力。另一方面，如果他不喜歡卡羅爾，他可以在切蛋糕時將略少於一半的香草部分放在一份中，將剩餘的香草和所有巧克力放在另一份中。卡蘿也可能會拿走那份巧克力來激怒鮑伯。即使有一個程式可以解決這個問題，但面對一個小的判斷錯誤，它非常不穩定。^[ 10 ]已經設計出了更實用的解決方案，這些解決方案不能保證最優性，但比劃分和選擇要好得多，特別是調整後的獲勝者程序（AW）^[ 11 ]和剩餘程序（SP ）。^[ 12 ] 另見高效切蛋糕。

用單點除法

Wagener ^[ 13 ]研究了二維蛋糕上的「分割和選擇」的變體，其中劃分者處於不利地位：他不能進行切割，只能在蛋糕上標記一個點。然後選擇者可以直接穿過該點，並選擇他喜歡的部分。他證明了，如果蛋糕是有界的，分隔器總是能保證至少 1/3 的蛋糕。如果蛋糕既是有界的又是凸面的，則分隔器可以固定蛋糕的 4/9。

參見

• 做市商 – 股票市場交易實體，金融市場中提供以給定價格（加上點差）買入或賣出的參與者
• 資源分配 －在可能的用途之間分配資源